资产配置的核心目标之一是降低投资组合风险，而资产间相关性分析在其中扮演着不可或缺的角色。在众多的资产中，如果我们配置相关性尽可能低的资产，那么可以使投资组合的风险尽可能的低，所以深度地去理解不同衡量关联性的方法可以加强对资产相关性的判断。

相关系数（Pearson相关系数）是最常见的衡量相关性的方法，在一般的资产配置模型（如马科维茨、风险平价、风险预算、BL模型）中，都是用的此相关系数来衡量资产的相关性。但此相关系数虽然有优点突出，但其有很多缺点。具体如下：

优点：Pearson相关系数使模型在数学推导上极其的完美。 缺点： 1、Pearson相关系数是一种线性相关的度量，不能刻画非线性相关关系。 2、Pearson相关系数是刻化整体的相关性，但是金融模型中，一般关心的是尾部的相关性，从而可以求出资产组合的尾部风险。

在资产配置中，Pearson相关系数的第二个缺点是非常重要的。真对这两个缺点，我们可以引入Copula函数，来计算多个随机变量的尾部相关性，从而求得资产组合的尾部风险。

在衡量组合的风险时，我们需要定义出资产间尾部的相关性，从而配置尾部相关性低的资产，来降低组合的尾部风险。通常我们定义尾部相关系数如下(以二元问题为例)：

尾部相关系数可以理解为在给定 X 是一个较大或者较小值时，观察到一个较大或者较小 Y 值的概率。说明上尾相关，说明 下尾相关。

所以，我们要求出资产间的联合分布才能求出尾部的相关系数。如何又每个资产的分布求出所有资产的联合分布，这就用到了Copula函数。Copula函数可以完美的将单个随机变量的分布当成边际分布合成联合分布。

Copula函数是由Sklar(1959)首次提出，可以在McNeil等(2005)中找到更详细的解释， 该函数可以理解为相依函数或者连接函数，它是把多维随机变量的联合分布用其一维边际分布连接起来的工具。

若H(x,y)是一个具有连续边缘分布的F(x)与G(y)的二元联合分布函数，那么存在唯一的Copula函数，使得 : 反之，如果是一个copula函数，而 F(x)与G(y)是两个任意的概率分布函数，那么由上式定义的H(x,y) 函数一定是一个联合分布函数，且对应的边缘分布刚好就是 F(x)与G(y) 。

由Sklar定理，我们可以把多个随机变量一维的各个分布当成边际分布，构造这些随机变量的联合分布。在资产配置里面，我们将两个资产的收益率当成随机变量，先统计出两个随机变量的分布，再根据Sklar定理，得到这两个随机变量的联合分布。有了联合分布，我们可以讨论两个随机变量的尾部关联性，从而得到资产组合的尾部分析。

所以，求解Copula函数变得至关重要。

显然我们不能从公式出发来求解。因为我们不知道联合分布。我们需要从其他途径求出此函数。庆幸的是，我们可以从其他途径求出Copula函数。

在数学上，只要满足以下三条性质的函数就可以当做Copula函数。（以二元函数为例）

1、此二元函数是[0,1]X[0,1]到[0,1]的映射。

2、,

3、, 或者

所以我们只需要找到满足上面三个性质的函数即可，在实际应用中，有两类Copula函数最常用，一类是椭圆Copula函数族，一类是阿基米德Copula函数族。

椭圆Copula函数族常用的有两种，一是Gaussian Copula，一是Student’s t Copula。

椭圆Copula函数均有对称的尾部相关性，在中心区域差别不大，差别主要体现在尾部的厚度。本文主要介绍高斯Copula函数和Student’s t Copula函数。

高斯copula是从多元正态分布 通过概率积分变换得到的。对于一个给定的相关系数矩阵 ，基于参数矩阵R的高斯Copula可以表达成：

其中，是标准正态分布的逆累积分布函数，为多元正态分布的联合累积分布函数，它的均值向量为0.，协方差矩阵为R。

Student’s t Copula是从多元t分布 通过概率积分变换得到的。对于一个给定的相关系数矩阵 ，自由度为N,基于参数矩阵R和N的Student’s t Copula 可以表达成：

其中R是相关系数矩阵、N是自由度，是 t 分布函数的逆函数。

阿基米德 Copula 函数具有非对称的尾部相关性，最常见的有Clayton Copula函数和Gumbel Copula函数。

Clayton Copula函数，是相关参数，,数值越大相关性越大：

Gumbel Copula函数,是相关参数，，数值越大相关性越大：

下面用R程序分别给出高斯Copula函数、Student’s t Copula函数、Clayton Copula函数、Gumbel Copula函数的概率密度函数（PDF）的图像。并且使用4种copula函数对任意的分布合成联合分布，最后给出模拟数据。